Skapa tre nya aritmetiska talföljder uppgift 11

I detta på denna plats kapitlet kommer oss för att lära oss angående talföljder samt även hur oss tillsammans med hjälp från således kallade induktionsbevis förmå bevisa påståenden liksom gäller på grund av talföljder samt summor.

Inledningsvis kommer oss inom detta denna plats avsnittet för att repetera hur talföljder fungerar samt hur oss kunna förklara vissa typer från talföljder.

Vi repeterar hur talföljder fungerar och hur vi kan beskriva vissa talföljder, med fokus på aritmetiska talföljder och summor, och geometriska talföljder och summor

Därefter kommer oss inom nästa segment för att lära oss mer angående rekursion, vilket existerar en sätt för att successivt beräkna talen inom ett nummerföljd utifrån dem anförande vilket redan existerar kända.

Talföljder

I Matte 1-kursen stötte oss vid numeriskt värde typer från talföljder: aritmetiska talföljder och geometriska talföljder.

Allmänt gäller för att enstaka nummerföljd existerar enstaka uppräkning från anförande inom ett viss ordning.

dem anförande liksom ingår inom enstaka nummerföljd kallas element.

Här nedan existerar numeriskt värde modell vid talföljder, var den inledande existerar ett aritmetisk nummerföljd samt den andra existerar ett geometrisk talföljd:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

och

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

I dem båda exemplen ovan finns detta en mönster liksom utför för att oss kunna förutse samt beräkna värdet vid elementen inom talföljden, dock detta finns även talföljder var värdena vid elementen ej följer något mönster.

angående värdena vid elementen inom talföljden följer en visst mönster samt oss känner mot detta mönster, då kunna oss beräkna värdet vid talföljdens element tillsammans hjälp från enstaka formel.

En ytterligare egenskap såsom dem båda talföljderna ovan besitter existerar för att dem existerar oändliga talföljder, vilket innebär för att detta finns oändligt flera element inom talföljden.

Detta markerar oss tillsammans med dem tre punkterna längst bort mot motsats till vänster inom talföljden, vilka betecknar för att resten från elementen inom talföljden följer identisk mönster liksom dem vilket redan skrivits ut. detta finns även ändliga talföljder, vilka besitter en begränsat antal element. en modell vid enstaka ändlig nummerföljd existerar 1,2, 3, såsom alltså bara består från dessa tre element.

Att enstaka nummerföljd existerar enstaka resultat från anförande innebär för att detta, mot skillnad ifrån mängder, agerar roll inom vilken ordning såsom talen förekommer.

mot modell existerar talföljderna 1, 2, 3 respektive 3, 2, 1 numeriskt värde helt olika talföljder, medan mängderna {1, 2, 3} respektive {3, 2, 1} existerar identiska mängder.

När oss önskar ange en visst element inom ett nummerföljd, förmå oss utföra detta tillsammans hjälp från elementets index, vilket anger plats inom talföljden vilket elementet förekommer.

Till exempel är följande talföljder aritmetiska: 1

detta inledande elementet inom ett nummerföljd förmå därför ges index 1, detta andra elementet index 2, samt därför vidare, vilket innebär för att detta n:te elementet äger index n. mot modell är kapabel oss äga nästa oändliga talföljd

$${a}_{1},\,{a}_{2},\,{a}_{3},\,{a}_{4},\,...$$

där a_n anger detta n:te elementet inom talföljden.

Ibland förekommer detta även för att man börjar räkna index ifrån noll, detta önskar yttra a₀, a₁, a₂, samt därför vidare.

Aritmetiska talföljder samt aritmetiska summor

I start från detta segment äger oss en modell vid ett nummerföljd likt ser ut således här:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

Detta existerar ett typ från nummerföljd liksom kallas aritmetisk nummerföljd samt såsom oss tidigare besitter träffat vid inom Matte 1-kursen.

Gemensamt till varenda aritmetiska talföljder existerar för att differensen, d, mellan en anförande samt detta närmast föregående talet existerar konstant.

Till modell gäller på grund av talföljden ovan för att differensen existerar 2 mellan detta andra elementet (5) samt detta inledande elementet (3), mellan detta tredjeplats elementet (7) samt detta andra elementet (5), osv.

oss förmå titta detta likt för att avståndet mellan intilliggande element inom enstaka aritmetisk nummerföljd existerar konstant.

Detta förmå oss notera vid nästa allmänna sätt:

$${a}_{n}-{a}_{n-1}=d$$

där n > 1.

En oändlig aritmetisk nummerföljd följer därför nästa mönster:

$${a}_{1},\,{a}_{1}+d,\,{a}_{1}+2d,\,{a}_{1}+3d,\,...$$

och värdet vid detta n:te elementet kunna oss beräkna tillsammans formeln

$${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$$

Vill oss beräkna summan från dem n inledande elementen inom ett aritmetisk nummerföljd (vad vilket kallas enstaka aritmetisk summa) förmå oss utföra detta tillsammans nästa formel:

$${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$$

där s_n är summan från dem n inledande elementen inom talföljden, a₁ är talföljdens inledande element, samt a_n är talföljdens n:te element.

I en senare segment kommer oss för att visa hur oss tillsammans hjälp från induktionsbevis kan bevisa för att denna formel till enstaka aritmetiska summa stämmer på grund av talföljden

$$1,\,2,\,3,\,...\,,\,n$$

---

Beräkna värdet vid detta 100:e elementet samt summan från dem hundra inledande elementen inom talföljden

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

Som oss tidigare äger konstaterat existerar detta ett aritmetisk nummerföljd var differensen, d, mellan värdet vid en element, a_n, samt värdet vid detta närmast föregående elementet, a_n-1, existerar lika tillsammans med 2.

Därför kunna oss beräkna värdet vid detta hundrade elementet, a₁₀₀, sålunda här:

$$ {a}_{100}={a}_{1}+(100-1)\cdot 2=$$

$$={a}_{1}+99\cdot 2=$$

$$={a}_{1}+198=$$

$$=3+198=201$$

Värdet vid detta 100:e elementet inom talföljden existerar alltså 201.

Summan från värdena vid dem 100 inledande elementen inom talföljden kalkylerar oss tillsammans med hjälp från formeln på grund av ett aritmetisk summa, var n = 100.

Denna summa existerar lätt för att beräkna då oss redan känner mot värdet vid detta 100:e elementet, a₁₀₀:

$$ {s}_{100}=\frac{100\cdot ({a}_{1}+{a}_{100})}{2}=$$

$$=\frac{100\cdot (3+201)}{2}=$$

$$=\frac{100\cdot 204}{2}=$$

$$=100\cdot 102=10\,200$$

Summan från värdena vid dem 100 inledande elementen inom talföljden existerar alltså lika tillsammans 10200.

---

Geometriska talföljder samt geometriska summor

Det andra exemplet vid ett nummerföljd, såsom oss träffade vid inom start från detta på denna plats avsnittet, ser ut således här:

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

Detta existerar ett geometrisk nummerföljd samt även denna typ från nummerföljd träffade oss vid inom Matte 1-kursen.

Gemensamt till samtliga geometriska talföljder existerar för att kvoten, k, mellan en anförande samt detta närmast föregående talet existerar konstant.

Till modell gäller på grund av talföljden ovan för att kvoten existerar -1/3 mellan detta andra elementet (-3) samt detta inledande elementet (9), mellan detta tredjeplats elementet (1) samt detta andra elementet (-3), osv.

och att n=25

oss är kapabel titta detta vilket för att förhållandet mellan intilliggande element inom ett geometrisk nummerföljd existerar konstant.

Detta förmå oss notera vid nästa allmänna sätt:

$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$$

för n > 1.

En oändlig geometrisk nummerföljd följer därför nästa mönster:

$${a}_{1}\cdot {k}^{0},\,{a}_{1}\cdot {k}^{1},\,{a}_{1}\cdot {k}^{2},\,...$$

och värdet vid detta n:te elementet förmå oss beräkna tillsammans formeln

$${a}_{n}={a}_{1}\cdot {k}^{n-1}$$

Vill oss beräkna summan från dem n inledande elementen inom ett geometrisk nummerföljd (vad likt kallas ett geometrisk summa) är kapabel oss utföra detta tillsammans nästa formel:

$${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$$

där s_n är summan från dem n inledande elementen inom talföljden, a₁ är talföljdens inledande element, samt k existerar kvoten mellan en anförande samt detta närmast föregående talet inom talföljden.

Ett modell vid en användningsområde på grund av geometriska talföljder existerar nära kalkyl från hur tillgångar ökar då man besitter ett viss ränta.

Räntesatsen bestämmer då värdet vid talet k likt oss besitter räknat tillsammans med ovan. detta finns även flera andra fenomen liksom kunna beskrivas tillsammans hjälp från geometriska talföljder.

Summasymbolen

När oss skriver summan från en större antal begrepp besitter oss användning till summasymbolen ∑ (symbolen liksom används existerar den stora bokstaven sigma inom detta grekiska alfabetet).

tillsammans med hjälp från denna emblem förmå oss vid en kompakt sätt nedteckna enstaka summa från en stort antal termer.

Till modell förmå oss notera nästa summa tillsammans hjälp från summasymbolen:

$$1+2+3+\,...\,+n$$

Med summasymbolen får oss då nästa uttryck:

$$\sum_{m=1}^{n}m$$

Detta tolkar oss såsom summan från varenda begrepp m då variabeln m antar värden ifrån 1 mot n (alltså ifrån detta värde såsom står beneath summasymbolen, mot detta värde liksom står ovanför summasymbolen).

Även nästa geometriska summa kunna oss nedteckna tillsammans hjälp från summasymbolen (observera för att detta inom detta fall rör sig angående en oändligt antal begrepp såsom bör summeras):

$$1+2+4+8+16+\,...$$

I detta denna plats fallet existerar kvoten mellan värdet vid enstaka begrepp samt den närmast föregående termen konstant samt lika tillsammans 2.

Med summasymbolen får oss därför nästa uttryck:

$$\sum_{m=0}^{\infty }{2}^{m}$$

Detta tolkar oss vilket summan från varenda anförande 2^m då variabeln m antar värden ifrån 0 mot oändligheten.

I detta på denna plats fallet får oss alltså nästa summa:

$$\sum_{m=0}^{\infty }{2}^{m}={2}^{0}+{2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{3}+\,...=1+2+4+8+\,...$$